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\begin{document}
%标题
\begin{center}
    {\zihao{3}\heiti 数理统计随堂测试（第一章）}\\\vspace*{0.1cm}
    {\zihao{-4} \,\copyright 胡建伟，黄超，李乐，李佩彦，毛光才}
\end{center}
\vspace{4pt}
\begin{question}
    设二元随机变量$(X_1,X_2)^{\mathrm{T}}\thicksim N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma}) $，其中$\boldsymbol{\Sigma} =
    \begin{pmatrix} 
        1 & \rho \\
        \rho & 1\\   
    \end{pmatrix}$. 试确定$a$的值，使得$X_1+X_2$与$X_1+aX_2$相互独立.
\end{question}
\begin{question}
    设$X_1,\cdots,X_{15}$是来自正态总体$N(0,\sigma^2)$的一个简单随机样本.试确定统计量
    \[Y=\frac{2(X_1^2+\cdots+X_5^2)}{X_6^2+\cdots+X_{15}^2}\]的分布.
\end{question}
\begin{question}
    设$X_1,\cdots,X_n$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的一个简单随机样本.令$\overline{X} $为其样本均值，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$为其样本方差.求$E(\overline{X}),D(\overline{X}),E(S^2)$和$D(S^2).$
\end{question}
\begin{question}
    设$X_1,\cdots,X_{2n}$是来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的一个简单随机样本，$\overline{X}$表示其样本均值.试确定统计量
    \[Y=\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i+X_{n+i}-2\overline{X})^2\]的分布.
\end{question}
\begin{question}
    令$F(x)$表示随机变量$X$的分布函数，$X_1,\cdots,X_n$是来自于总体$X$的一个简单随机样本.证明：$-2\sum\limits_{i=1}^n ln(F(X_i))\thicksim \chi ^2(2n).$\vspace{4pt}\\
    注：$\chi^2(n)$的密度函数为
    \[f(x)=\begin{cases}
        \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}, &x>0,\\
        0, & \text{其他}.
    \end{cases}\]
    其特征函数为$\varphi(t)=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}$
\end{question}
\end{document}